非線形回帰分析　-　06

線形回帰のパラメータの推定

傾き，a1，をシフト

具体的な値は，参考にしたサイトの値を使わさせていただきます．

a1      

0.32

 0.42 0.502102 0.62 0.737898 0.82 0.92
δ       -0.3 -0.2 -0.1179 0 0.1179 0.2 0.3
a0       5.72 5.32 4.99 4.52 4.05 3.72 3.32
                     
i X y     \( \hat{y} \)
1 0 5   5.72 5.32 4.991593 4.52 4.048407 3.72 3.32
2 2 5   6.36 6.16 5.995797 5.76 5.524204 5.36 5.16
3 3 7   6.68 6.58 6.497898 6.38 6.262102 6.18 6.08
4 4 6   7 7 7 7.00 7 7 7
5 6 9   7.64 7.84 8.004203 8.24 8.475796 8.64 8.84
6 9 10   8.6 9.1 9.510508 10.1 10.68949 11.1 11.6
                     
S (\(y_i - \hat{y} \)の平方和)       7.28 4.78 3.475

2.78
(Se)

3.475 4.78 7.28
dS (Seとの差分）       4.5 2.0 0.695 0 0.695 2.0 4.5
                     

傾きを変えて切片を近似すると，このようなグラフを得ることができます．

ここで，S，Se，は，

・残差平方和

推定値からの残差

\(\Large \displaystyle Se = \sum_{i=1}^{n} \left( y_i -\hat{a_0} - \hat{a_1} X_i \right)^2 \)

a1をシフトさせたときの，推定値からの残差

\(\Large \displaystyle S = \sum_{i=1}^{n} \left( y_i -\hat{a_0} - a_1 X_i \right)^2 \)

であり，傾きの値a1を，δ，だけシフトさせて，固定し，その際のa0の推定値をソルバーで推定しました．

a1の標準誤差も加えてあります．

dS，を見ていただけるとわかるように，推定値，Seが一番小さく，左右対称に増加していることがわかります．

グラフ化すると，

のように，二乗+定数できれいに近似できます．

ここで，分散値は，

・分散

\(\Large \displaystyle Ve = \frac{1}{n-2} \sum_{i=1}^{n} \left(y_i -\hat{a_0} - \hat{a_1} X_i \right)^2 = \frac{Se}{n-2} = \frac{2.78}{6-2} = 0.695 \)

であり（a0，a1，の二つのパラメータが2つあるので，自由度は，n-2），平均値の議論では，

\(\Large \displaystyle S_{SE} = Se + Ve \)

となり，当てはまりの悪さ，S，がSe + Ve，の場合のδが，標準誤差，SE，となるので，ちょうどa1のシフトが回帰分析で計算した標準誤差，±0.1179，の時に，Se+Ve，となります．

 

では，次に，

　切片，a2，をシフト

させてみましょう．

 

 

l tr